从直观到定义

连续性可以先理解为：当输入足够接近某一点时，函数值也会足够接近该点的函数值。epsilon-delta 语言把这句话写成一个可以检验的量化命题。

epsilon-delta 表述

函数 $f$ 在点 $a$ 连续，当且仅当对每个 $\varepsilon > 0$，都存在 $\delta > 0$，使得

$$|x-a| < \delta \implies |f(x)-f(a)| < \varepsilon.$$

这个定义将输入的扰动与输出的扰动联系起来；其中 delta 可以依赖于给定的 epsilon。

一个简单例子

令 $f(x)=x^2$。若先要求 $|x-a|<1$，便有

$$|x+a| \le |x-a|+2|a| < 2|a|+1.$$

于是

$$|x^2-a^2|=|x-a||x+a|$$

因此只要取

$$\delta=\min\left\{1,\frac{\varepsilon}{2|a|+1}\right\},$$

就能保证 $|x^2-a^2|<\varepsilon$。这里的关键不是公式本身，而是先在一个固定邻域内控制另一个因子，再把剩余的误差留给 $|x-a|。